Навье—Стокса уравнения

Навье́—Сто́кса уравне́ния (по имени Л. М. А. Навье и Дж. Стокса) — фундаментальная система уравнений аэро- и гидродинамики, выражающая в дифференциальной форме закон сохранения количества движения; впервые были выведены Л. М. А. Навье (1822) и С. Д. Пуассоном (1829) на основе упрощённой молекулярной модели для газов, А. Ж. К. Сен-Венаном (1843) и Дж. Стоксом (1845) на основе континуального подхода. В последнем случае при применении теоремы о сохранении количества движения к элементарному объёму жидкости наряду с напряжениями давления учитываются вязкие напряжения и предполагается линейная зависимость тензора напряжений от тензора скоростей деформации.

При течении несжимаемой жидкости Н.—С. у. имеют вид:

где V — вектор скорости, F — вектор массовых сил, ρ — плотность, p — давление, ν — кинематическая вязкость, t — время, D/Dt — так называемая субстанциональная, или полная, производная, Δ — символ оператора Лапласа. Для невязкой жидкости (ν = 0) Н.—С. у. переходят в Эйлера уравнения. Решение Н.—С. у. должно удовлетворять заданным начальным и граничным условиям, последние зависят от рода исследуемой задачи. Для твёрдого тела с непроницаемой поверхностью, движущегося в покоящейся среде, они представляют собой условия прилипания на обтекаемой поверхности и условия затухания вносимых телом возмущений на больших расстояниях от неё. Н.—С. у. замыкаются неразрывности уравнением, имеют в общем случае седьмой порядок, и нахождение решения из-за нелинейности сопряжено с очень большими трудностями.

Если ввести вектор завихренности ω = rotV и применить операцию ротора к Н.—С. у. в предположении, что массовые силы имеют потенциал (F = gradΠ), то получим обобщённое уравнение Гельмгольца

то есть Н.—С. у. описывают процесс конвективного переноса и диффузии завихренности в поле течения.

В частных случаях Н.—С. у. допускают точные решения. Среди них выделяется класс течений, в которых движение происходит лишь в одном направлении. Типичным примером является задача о бесконечной плоской пластине, которая из состояния покой мгновенно приводится в движение с постоянной скоростью u_ω в своей плоскости; ее решение записывается в квадратурах

где η = y/2(νt)^1/2. Эта задача хорошо раскрывает природу Н.—С. у. как уравнения переноса завихренности: при t = 0 в плоскости пластины возникает тангенциальный разрыв, который равносилен появлению вихревой пелены и который при t > 0 диффундирует в окружающую среду; при этом суммарная завихренность в поперечном сечении поток остаётся постоянной во всё время движения. Толщина увлекаемого пластиной слоя жидкости δ≈4(νt)^1/2. Аналогичный характер поведения имеет решение уравнений изобарического ламинарного пограничного слоя в плоской пластине.

При движении сжимаемой среды Н.—С. у. имеют более сложный вид, и для их замыкания кроме уравнения неразрывности используются энергии уравнение и уравнение состояния среды.

В. А. Башкин.