кинетическая теория газов

Зависимость интенсивности испарения от плотности пара над стенкой.

кинети́ческая тео́рия га́зов — раздел физики, изучающий явления в газах статистическими методами, рассматривающий газ как совокупность молекул, заданным образом взаимодействующих между собой, с внешними полями и ограничивающими поверхностями. К. т. г. изучает неравновесные явления; исследованием равновесных состояний занимается статистическая физика. В отличие от «классического» изложения К. т. г. ниже основной акцент сделан на аэродинамические, а не на общефизические проблемы.

Распределение молекул по скоростям v в некоторой точке r в момент времени t определяется функцией распределения (ФР) f(v, r, t), удовлетворяющей основному для К. т. г. Больцмана уравнению. Описание явлений на молекулярном уровне (микроуровне) чрезвычайно сложно из-за многомерности задачи, которая в общем случае семимерна, так как ФР зависит не только от времени и координат (как газодинамические переменные), но и от компонентов скоростей молекул. В то же время получаемая информация для большинства приложений излишне детальна. Поэтому к молекулярно-кинетическому описанию обращаются лишь тогда, когда задача не может быть рассмотрена на макроуровне с меньшим числом измерений. Одна из основных задач К. т. г. состоит в установлении круга явлений, которые могут быть строго описаны на макроуровне, в выводе соответствующих уравнений и граничных условий для макровеличин.

Макровеличины, в том числе все привычные газодинамические переменные, могут быть выражены через ФР: плотность ρ = m∫fdv, скорость потока u = (m/ρ)∫fdv, температура T = (2m/3kρ)∫(mc²/2)fdv, компоненты тензора напряжений P_ij = m∫c_ic_jfdv, вектор потока теплоты q = ∫(mc²/2)c/dv и т. д.; k — постоянная Больцмана, c = v-u — тепловая (собственная) скорость молекул, m — их масса. Как из уравнения Больцмана, так и феноменологическим путём можно получить уравнения сохранения массы, импульса и энергии (см. также Сохранения законы):

Эти уравнения не замкнуты, так как число неизвестных больше числа уравнений. В общем случае не существует локальных связей между «лишними» переменными P_ij и q_j и пятью газодинамическими функциями (переменными) ρ, u_i и T.

В К. т. г. фундаментальную роль играет Кнудсена число Kn. Если Kn  1, то решение уравнения Больцмана можно построить в виде асимптотического ряда f = f⁽⁰⁾ + f⁽¹⁾ + f⁽²⁾…, в котором функции f^(k) зависят от ρ, u_i, и T и их производных по координатам до k-го порядка (так называемый метод Чепмена—Энскога). Подставляя этот ряд в выражения для P_ij и q_j, получим

, , где , , ,

и т. д. (μ — динамическая вязкость, λ — теплопроводность, p — давление). Подстановка полученных соотношений в уравнения сохранения приводит к замкнутой системе уравнений для ρ, u_iи T: при учёте одного члена разложения получаются Эйлера уравнения, двух — Навье—Стокса уравнения, трёх — уравнения Барнетта и т. д. Приведённые связи (переносные свойства среды) известны и в механике сплошной среды, где они постулируются. К. т. г. не только устанавливает эти связи, но определяет область их применимости (Kn  1) и позволяет вычислить входящие в них μ и λ, которые в континуальной теории берутся из эксперимента. Это особенно важно для смесей газов и газов с внутренними степенями свободы, обладающих более сложными переносными свойствами: благодаря диффузии состав смеси в течении меняется от точки к точке, так что невозможно заблаговременно «заготовить» коэффициент переноса, их необходимо рассчитывать в каждой точке одновременно с расчётом течения.

Число Кнудсена может быть выражено через более привычные газодинамического подобия критерии (Маха число M и Рейнольдса число Re): Kn ≈ M/Re. Так как континуальное макроскопическое описание и уравнения газовой динамики справедливы при Kn→0, то они справедливы, например, при M = const и Re→∞ (течение типа пограничного слоя) или при Re = const и M→0 (медленные течения типа течения Стокса) и не справедливы, если M и Re одного порядка.

В классической газовой динамике на поверхностях твёрдого тела или жидкости используются условия прилипания — равенство скоростей и температур газа и конденсирующей фазы. Эти условия не следуют из основных постулатов механики сплошных сред и привносятся из эксперимента или дополнительных посылок. В действительности имеет место зависящее от их природы и состояния взаимодействие молекул с поверхностью, определяющее связь функций распределения падающих и отражённых молекул. Если газ не находится в равновесии с поверхностью, то упомянутая выше ФР, ведущая к газодинамическому описанию, не удовлетворяет этой связи. Следовательно, около стенки всегда имеется слой Кнудсена толщиной порядка длины свободного пробега молекул l, течение в котором не подчиняется законам газовой динамики. Решение уравнения Больцмана в слое Кнудсена связывает истинные микроскопические условия на стенке с газодинамическим течением вне этого слоя, устанавливая для него фиктивные макроскопические граничные скольжения условия на стенке и условие температурного скачка. При рассмотрении течения вне слоя Кнудсена истинное распределение скоростей или температур в слое несущественно. Хотя получаемое с указанными граничными условиями решение уравнений Навье—Стокса внутри слоя Кнудсена отличается от истинного, потоки теплоты и импульса (напряжение трения) определяются с точностью, соответствующей точности самих уравнений. Граничные условия скольжения и температурного скачка тем больше отличаются от условий прилипания, чем больше Kn. При Re  1, M = O(1) их учёт даёт поправки к классической теории пограничного слоя того же порядка, что и учёт вытесняющего действия этого слоя. Особое место занимает скольжение газа (крип), вызванное градиентом температуры вдоль поверхности, так как приводит оно не к поправкам, а к новым явлениям, отсутствующим при выполнении условий прилипания (термофорез, радиометрический эффект и т. д.). Наличие градиента температуры вдоль трубки вызывает течение вдоль неё (термомеханический эффект).

Ещё более важно исследование слоя Кнудсена, если на поверхности происходит испарение или химическая реакция. Например, расход испаряющегося материала, вычисленный по классической формуле Герца—Кнудсена, полученной без учёта слоя Кнудсена, существенно отличается от расхода, следующего из решения уравнения Больцмана в слое (см. рис.).

Наряду с основным характерным размером L в течении могут существовать «собственные» характерные размеры L_i < L, например, толщина пограничного слоя или ударной волны ~ l. Если L_i  l, то течение может быть описано в рамках теории сплошной среды, однако точность описания падает с увеличением Kn = l/Li. Структура ударной волны должна рассматриваться в рамках уравнения Больцмана.

Выше предполагалась справедливость при Kn  1 уравнений Навье—Стокса, получаемых при учёте двух членов разложения ФР по числу Кнудсена. Однако если M << l, Re = O(1) и перепад температур ΔT/T = O(1), то в газе возникают (получаемые при учёте третьего члена разложения) температурные напряжения того же порядка, что и вязкие. Этими напряжениями обусловлены новый тип естественный конвекции, имеющей место в отсутствие массовых сил (термострессовая конвекция), и другие явления.

В смесях газов для каждого компонента записывается своё уравнение Больцмана, столкновительный член которого учитывает как столкновения молекул данного сорта между собой, так и с молекулами другие сортов, а также переход молекул данного сорта в другой (химической реакции). Молекулы, находящиеся в разных квантовых состояниях, рассматриваются как молекулы разных сортов, а переход в другие квантовое состояние — как химическая реакция. Средняя длина пробегав l_Ri (вероятность, эффективное сечение, число столкновений) для i-й химической реакции или квантового перехода (неупругие процессы) может существенно отличаться от средней длины пробега l_c для упругих столкновений. В каждой точке течения имеется несколько чисел Кнудсена Kn = l_c/L_i и Kn_Ri = l_Ri/L, которые могут меняться от точки к точке. Обобщённым методом Чепмена — Энскога показано, что макроскопическое газодинамическое описание возможно при Kn→0 и произвольном отношении α = l_e/l_Ri. В общем случае для числовой плотности молекул в данном квантовом состоянии получается своё макроскопическое уравнение (поуровневая кинетика). Иногда удаётся свести задачу к меньшему числу уравнений для осреднённых величин. С изменением α вид уравнений не изменяется, но меняются коэффициент переноса. Исследование явлений при не малых числах Кнудсена в последние десятилетия быстро развивалось и в результате выделилось в самостоятельный раздел К. т. г. и газовой динамики — <<разреженных газов динамика. В самостоятельную дисциплину также выделилась кинетическая теория плазмы.

Литература:
Чепмен С., Каулинг Т., Математическая теория неоднородных газов, пер. с англ., М., 1960;
Коган М. Н., Динамика разреженного газа. Кинетическая теория, М., 1967;
Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Физическая кинетика в кн.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теоретическая физика, т. 10, М., 1979;
Климонтович Ю. Л., Статистическая физика, М., 1982.

М. Н. Коган.