Прандтля—Глауэрта теория

Пра́ндтля—Гла́уэрта тео́рия — линеаризованная теория обтекания тел дозвуковым потенциальным потоком невязкого совершенного газа, первое приближение теории малых возмущений (предложена Л. Прандтлем и Г. Глауэртом в 1927—1930). В её основе лежит предположение о малости возмущений скорости, вносимых телом в однородный установившийся поток, по сравнению со скоростью V_∞ невозмущенного (на бесконечности) набегающего потока и разностью V_∞-а_∞, где а_∞ — скорость звука в невозмущенном потоке. Это предположение выполняется, если в любой точке угол наклона поверхности тела к направлению V_∞ является малой величиной. В первом приближении квадратами возмущений в уравнениях движения можно пренебречь, что приводит к их существенному упрощению. Потенциал возмущения скорости φ_в, связанный с потенциалом скорости φ соотношением φ_в = φ-V_∞х, при заданном Маха числе М_∞ удовлетворяет уравнению Прандтля—Глауэрта:

(1-M²_∞)φ_вxx + φ_вyy + φ_вzz = 0.

С помощью преобразования Прандтля—Глауэрта

x = ξ, y = η/(1-M²_∞)^1/2, z = ξ/(1-M²_∞)^1/2 уравнение для φ_в сводится к уравнению Лапласа, описывающему течение несжимаемой жидкости. Влияние сжимаемости интерпретируется растяжением физического пространства в поперечных направлениях в соответствии с преобразованием Прандтля—Глауэрта. С увеличением V_∞ создаваемые телом возмущения распространяются в боковом и вертикальном направлениях на большее расстояние, чем в продольном. В остальном поток сжимаемого газа подобен потоку несжимаемого.

Соответствие между течениями сжимаемого и несжимаемого газов около заданного профиля устанавливается правилом Прандтля—Глауэрта: распределение коэффициента давления с_р при заданном значении М_∞ можно получить из соответствующего распределения с_рн в сходственных точках потока несжимаемого газа, обтекающего профиль с той же относительной толщиной, если ординаты этого распределения увеличить в 1/(1-M²_∞)^1/2 раз, то есть с_p = c_рн/(1-M²_∞)^1/2.

Аналогичными соотношениями связаны между собой аэродинамические коэффициенты подъёмной силы и момента для потоков сжимаемого и несжимаемого газов. В соответствующих точках таким образом преобразованного поля течения продольный компонент скорости увеличивается в 1/(1-M²_∞)^1/2 раз, а вертикальный и боковой компоненты остаются неизменными. Распределения коэффициента давления в сходственных точках будут одинаковыми в том случае, когда в потоке сжимаемого газа профиль имеет в (1-M²_∞)^1/2 раз меньшую относительную толщину.

Правило Прандтля—Глауэрта позволяет только проводить перерасчёт рассматриваемых величин в потоке несжимаемого газа на их значения в дозвуковом потоке сжимаемого газа при заданном значении М_∞; задача об обтекании тела потоком несжимаемой жидкости должна решаться соответствующим методом (см. Гидродинамика). Для уточнения П.—Г. т. в областях, сильно возмущённых телом, разработаны методы высших приближений. При трансзвуковых скоростях потока линеаризация уравнений движения становится неприемлемой даже в случае малых возмущений (см. также Линеаризованная теория течений).

В. И. Васильченко.