крыла теория

Рис. 1. Основные области в схеме несущей поверхности.

крыла́ тео́рия — математическое описание в рамках определенной схемы течения взаимодействия движущегося крыла летательного аппарата с окружающей средой при заданных внешних условиях, геометрии крыла, законах его движения и деформациях поверхности (упругих или вызванных отклонениями рулей). К. т. — одна из основных проблем аэродинамики на всех этапах её развития — базируется на уравнениях газовой динамики, выражающих собой сохранения законы; на поверхности крыла выполняются граничные условия прилипания в вязкой и непротекания в идеальной жидкости.

Математическая постановка задач К. т. всегда представляла собой компромисс между потребностями практики и возможностями теории, Основное внимание в К. т. уделяется изучению пространственных эффектов; анализ локальных явлений при условиях, в которых работают отдельно взятые сечения крыла, обычно рассматриваются профиля теорией. Особенности применяемых схем течения определяются:
1) формой крыла в плане, наиболее важными характеристиками которой являются удлинение крыла λ = l²/S (l — размах, S — площадь крыла) и угол стреловидности χ;
2) Маха числом полёта M_∞ = V/a_∞ (V — скорость движения крыла относительно среды, a_∞ — скорость звука в невозмущенном потоке);
3) относительными значениями возмущений газодинамических переменных, которые вносятся телом в невозмущенный поток и определяются прежде всего местными углами атаки и числом M_∞.

Наибольшее развитие и применение получила линейная К. т., в которой удерживаются только первые степени возмущений газодинамических переменных. Она неприменима для трансзвуковых течений и гиперзвуковых течений, а также при больших углах атаки крыла; при транс- и гиперзвуковых скоростях потока поведение возмущений описывается нелинейными уравнениями, линеаризация которых практически невозможна. С начала XX в. и до 40-х гг. К. т. развивалась для несжимаемой жидкости применительно к крыльям малой стреловидности и большого удлинения. Фундаментальные основы её были заложены Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным. Жуковский показал, что механизм образования подъёмной силы можно описать в рамках модели идеальной жидкости (см. Жуковского теорема). Он ввёл понятие о вихрях присоединённых, связанных с крылом, и предложил схему обтекания (схему несущей нити), которая легла в основу всех вихревых методов расчёта крыла и воздушного винта, а Чаплыгина—Жуковского условие о конечности скорости на задней острой кромке профиля дало простой и универсальный подход к выделению решения, имеющего физический смысл. Согласно этой схеме, крыло заменяется одним прямолинейным присоединённым вихрем с переменной по размаху циркуляцией скорости Г, и с него по направлению невозмущенной скорости сбегает слой полубесконечных вихрей свободных, что обеспечивает выполнение теоремы о постоянстве циркуляции скорости. Согласно правилу плоских сечений (см. Тонкого тела теория), каждое сечение z₀ = const крыла обтекается как профиль при истинном угле атаки α = α_г-Δα, где α_г — геометрический угол атаки, Δα — скос потока, значение которого зависит от скорости, индуцируемой свободными вихрями на присоединённом. В результате для определения Г(z₀) получается интегро-дифференциальное уравнение Прандтля:

,

где a(z₀) и f(z₀) — известные функции, определяемые геометрией крыла и формой профиля.

Со второй половины 40-х гг. в связи с применением стреловидных крыльев малого удлинения интенсивно разрабатывается более точная схема несущей поверхности (см. также Стреловидного крыла теория). В этом случае тонкое, слабо изогнутое крыло, близкое к плоскости y = 0 (рис. 1), заменяется вихревым слоем интенсивности γ(x, z), расположенным на проекции крыла на плоскость y = 0. Свободные вихри Σ сходят с задней кромки крыла и располагаются в плоскости y = 0 параллельно оси x, их интенсивности, согласно теореме о сохранении циркуляции скорости, выражаются через γ(x, z). Получающаяся замкнутая вихревая система создаёт поле скоростей, потенциал скорости которого φ(x, y, z) удовлетворяет уравнению Лапласа Δφ = 0 и граничному условию непротекания на поверхности крыла: ∂φ/∂y₀ = f(x₀, z₀) (= ‑V_∞). С помощью Био—Савара формулы задача по определению γ(x, z) сводится к решению сингулярного интегрального уравнения

(интеграл поднимается в смысле конечной части по Адамару). По найденному полю скоростей поле давления определяется с помощью Бернулли уравнения, а нагрузки на крыло (разность Δp давлений на нижней и верхней поверхностях) вычисляются по теореме Жуковского «в малом»; Δp = ρW_ovγ, где ρ — плотность среды, γ — интенсивность присоединённого вихревого слоя, W_ov — нормальная к оси вихри составляющая относительной скорости в точке, принадлежащей крылу. Эта формула обладает большой общностью: она применима для любой тонкой несущей поверхности, в том числе и при нестационарном обтекании.

В сжимаемой жидкости потенциал скорости удовлетворяет линеаризированному уравнению

При дозвуковых скоростях (M_∞ < 1) линейная задача с помощью преобразования Прандтля—Глауэрта

x = (1-M²)^1/2x_м, y = y_м, z = z_м
(индекс «м» обозначает преобразованные координаты) сводится к предыдущей, но для крыла преобразованной формы в плане (см. Прандтля—Глауэрта теория). При сверхзвуковых скоростях в качестве неизвестной функции удобно взять потенциал скорости φ(x, y, z). Решение линеаризированного уравнения имеет вид (области интегрирования указаны на рис. 1):

,
где R = {(x-x₀)²-(M_∞²-1)[(y-y₀)² + (z-z₀)²]}^1/2. Значения ∂φ/∂y на S известны из граничного условия непротекания, на диафрагмах σ из соображений симметрии φ(x₀, 0, z₀) = 0, а на вихревом следе Σ из условия сохранения циркуляции скорости φ(x₀, 0, z₀) = φ(x^*₀, 0, z^*₀), где x^*₀, z^*₀ — координаты задней кромки.

Линейная К. т. позволяет надёжно изучать суммарные и некоторые локальные эффекты для крыльев и самолётов при умеренных углах атаки (кроме транс- и гиперзвуковых скоростей), поэтому она продолжает развиваться. В связи с внедрением адаптивных крыльев появились задачи, в которых определяются деформации поверхности (обычно углы отклонения носков) для обеспечения безударного обтекания и ликвидации отрыва потока. Потребности динамики полёта и аэроупругости стимулировали развитие нестационарной К. т. как при гармонических (колебания самолёта, флаттер), так и произвольных (переходные режимы, воздействие порывов ветра) зависимостях параметров от времени. При этом усложняется структура свободных вихрей (наряду с продольными появляются поперечные вихри), что существенно усложняет уравнения К. т. и методы их решения.

Прогресс ЭВМ и численных методов дали жизнь новому научному методу — вычислительному эксперименту. Наряду с традиционными схемами большое развитие получили дискретные вихревые схемы с соответствующим математическим описанием (метод дискретных вихрей, панельный метод).

Значительным достижением аэродинамики явилось установление и внедрение в практику самолётостроения эффекта полезного отрыва. При обтекании тонких крыльев с острых передних кромок сходит носовая вихревая пелена, которая на крыльях большой стреловидности сворачивается в устойчивые вихревые жгуты, создающие дополнительное разрежение над крылом. В результате возрастают несущие свойства и критический угол атаки крыла. Поэтому одной из важных задач К. т. стало установление диапазона углов атаки и скольжения, а также угловых скоростей, в котором имеет место эффект полезного отрыва. Оказалось, что критические значения этих параметров можно находить расчётом из условия невозможности существования вихревых жгутов (из-за пульсаций и разрушения). При достаточно больших Рейнольдса числах отрывные режимы с фиксированными местами отрыва потока можно исследовать в рамках теории идеальной жидкости, как правило, путём решения нестационарных задач. На рис. 2 проведено сравнение теоретических и экспериментальных данных для треугольного крыла (γ = 1,5), а на рис. 3 показаны вихревые структуры, вычисленные методом дискретных вихрей.

При полностью отрывном нестационарном обтекании тонкого крыла свободные вихри сходят со всех кромок и образуют систему продольных и поперечных вихрей (рис. 4) с осями, не параллельными вектору местной скорости. В методе дискретных вихрей криволинейные нити суммарных вихрей (присоединённых и свободных) на крыле и свободных вне его заменяются системой прямолинейных вихревых отрезков, образующих совокупность замкнутых вихревых четырёхугольников, при этом циркуляции скорости вокруг сторон четырёхугольника одинаковы. (В панельном методе непрерывное распределение вихрей заменяется кусочно непрерывным, по элементам поверхности тела — панелям.) Значения циркуляции присоединённых вихрей изменяются за счёт схода свободных, которые движутся со скоростями частиц жидкости, так что остаются справедливыми все теоремы о вихрях, Форма следа определяется последовательно в каждый расчётный момент времени. При этом условие Чаплыгина—Жуковского удовлетворяется на всех кромках, а граничное условие непротекания — в конечном числе точек на поверхности крыла (светлые кружки на рис. 4). Нахождение циркуляции скорости сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений, невырожденность определителя которой обеспечивает устойчивость счёта. При этом выполняются все условия задачи, причём уравнения неразрывности и импульсов в несжимаемой жидкости — автоматически.

При безотрывном обтекании крыла вихри с передних кромок не сходят, а при частично отрывном сходят только с их части, которая заранее считается известной. Например, заострение передних кромок гарантирует появление на них отрыва; предотвратить его, даже на тонком крыле, можно отклонением секций носков, причём углы отклонения, обеспечивающие безударное обтекание, находятся расчётом. В стационарных задачах циркуляции скорости присоединённых вихрей во времени не меняются и нет поперечных свободных вихрей; форма вихревого следа при каждом угле атаки вычисляется методом итераций. При больших до- и трансзвуковых скоростях полёта поверхность крыла и вихревой след за ним также заменяются системами вихревых отрезков, но в отличие от несжимаемой жидкости вне крыла необходимо вводить соответствующим образом распределённые источники (см. Источники и стоки). Определение циркуляции вихрей, интенсивностей источников и формы следа осуществляется также методом итераций, причём потенциал скорости на m-й итерации удовлетворяет уравнению Пуассона Δφ^(m) = M_∞^‑2F^(m‑1)(x, y, z), правая часть которого считается известной и выражается через потенциал скорости и его производные на предыдущей итерации. Итерационный процесс быстро сходится, и обычно требуется не более 5 итераций даже при появлении зон с умеренными сверхзвуковыми скоростями. На рис. 5 показаны линии постоянных значений числа Маха на верхней поверхности треугольного крыла с λ = 1,5 при отрывном обтекании (α = 15°, M_∞ = 0,7).

Схема тонкой несущей поверхности даёт приемлемые результаты по аэродинамическим нагрузкам и суммарным характеристикам, но недостаточна для изучения распределения давления по крылу, поэтому развиваются модели с учётом конечности толщины тела. На сверхзвуковых скоростях, когда области влияния поверхности на данную точку (часть поверхности, ограниченная обратным конусом Маха, см. рис. 1) ограничены, основное применение получили прямые численные методы интегрирования уравнений газовой динамики (так называемые методы конечных разностей, крупных частиц и другие). Изучение отрывного обтекания крыльев конечной толщины на дозвуковых скоростях привело к физико-математическим моделям, основанным на схемах идеальной жидкости и пограничного слоя; влияние последнего сказывается в увеличении эффективной толщины крыла и, главное, в формировании отрыва. Методы К. т. используются для исследования несущих поверхностей и другие типов (крестообразных, кольцевых и т. д.), а также схематизированых компоновок самолётов.

Численные методы и ЭВМ становятся одним из основных источников информации в аэродинамике. Однако аналитические подходы в К. т. продолжают играть существенную роль как при математической постановке задачи, так и при организации вычислительного эксперимента. Точные соотношения (например, обратимости теорема), асимптотические решения и т. д. служат важным средством контроля, иногда позволяют упростить решение некоторого класса задач (метод сращиваемых асимптотических разложений и другие). За физическим экспериментом, в особенности натурным, остаётся важнейшая контрольная роль. Вычислительный эксперимент в сочетании с физическим даёт возможность установить количественные рамки применимости используемых схем и моделей. ЭВМ позволили использовать их в полном виде без каких-либо дополнительных упрощений, поэтому существенно расширяются области применимости классических схем; особенно это относится к модели идеальной жидкости.

Литература:
Жуковский Н. Е., О присоединенных вихрях, Собр. соч., т. 4, М., 1949;
Чаплыгин С. А., О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана). Собр. соч., т. 2, М., 1948;
Голубев В. В., Лекции по теории крыла, М.—Л., 1949;
Красильщикова Е. А., Крыло конечного размаха в сжимаемом потоке, М.—Л., 1952;
Белоцерковский С. М., Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа, М., 1965;
Эшли Х., Лэндал М., Аэродинамика крыльев и корпусов летательных аппаратов, пер. с англ., М., 1969;
Белоцерковский С. М., Скрипач Б. К., Табачников В. Г., Крыло в нестационарном потоке газа, М., 1971;
Белоцерковский С. М., Ништ М. И., Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью, М., 1978;
Исследование сверхзвуковой аэродинамики самолётов на ЭВМ, М., 1983.

С. М. Белоцерковский.

Рис. 2. Эффект полезного отрыва на треугольном крыле.

Рис. 3. Вихревые структуры треугольного крыла.

Рис. 4. Расчётная вихревая схема крыла.

Рис. 5.