характеристическое уравнение

характеристическое уравнение

характеристи́ческое уравне́ние. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида

  

[при F(t) ≡ 0 это уравнение называется однородным]. Здесь a1, b1 — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение di/dti = pi так, что diZ(t)/dti = piZ(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(p)F(t), где L(p) и S(p) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(p) = pn + a1pn1 + … + an-1p + an называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(p) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения Х. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни Х. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). Х. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.

Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней Х. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе Х. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. Х. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости летательного аппарата и его управляемости.

Литература:
Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, М., 1954;
Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Ю. Б. Дубов.


Энциклопедия «Авиация». - М.: Большая Российская Энциклопедия. . 1998.

Смотреть что такое "характеристическое уравнение" в других словарях:

  • Характеристическое уравнение — Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению …   Энциклопедия техники

  • ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение видаОпределитель в этой формуле получается из определителя матрицы вычитанием величины x из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно x и называется характеристическим многочленом …   Большой Энциклопедический словарь

  • характеристическое уравнение — — [В.А.Семенов. Англо русский словарь по релейной защите] Тематики релейная защита EN characteristic equation …   Справочник технического переводчика

  • характеристическое уравнение — алгебраическое уравнение вида . Определитель в этой формуле получается из определителя матрицы  х из диагональных элементов; он представляет собой многочлен относительно х и называется характеристическим многочленом. * * * ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ… …   Энциклопедический словарь

  • характеристическое уравнение — būdingoji lygtis statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f; Stammgleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f …   Automatikos terminų žodynas

  • характеристическое уравнение — būdingoji lygtis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. characteristic equation; performance equation vok. charakteristische Gleichung, f rus. характеристическое уравнение, n pranc. équation caractéristique, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Характеристическое уравнение —         в математике,          1) Х. у. матрицы алгебраическое уравнение вида                  определитель, стоящий в левой части Х. у., получается из определителя матрицы (См. Матрица) А = ||aik||n1 вычитанием величины λ из диагональных… …   Большая советская энциклопедия

  • характеристическое уравнение — характеристическое уравнение. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена …   Энциклопедия «Авиация»

  • ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — вековое уравнение, см. в ст. Характеристический многочлен …   Математическая энциклопедия

  • Характеристическое уравнение — Характеристический многочлен это многочлен, определяющий собственные значения матрицы. Другое значение: Характеристический многочлен линейной рекурренты это многочлен . Содержание 1 Определение …   Википедия

Книги

Другие книги по запросу «характеристическое уравнение» >>


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»