характеристическое уравнение

характеристи́ческое уравне́ние. Во многих случаях физические процессы, происходящие в системах, описываются системой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в достаточно общем случае может быть сведена к дифференциальному уравнению вида

  

[при F(t) ≡ 0 это уравнение называется однородным]. Здесь a₁, b₁ — постоянные коэффициенты, выражающиеся, например, через аэродинамические коэффициенты; Z(t) — неизвестная функция времени t; F(t) — заданное, зависящее от времени внешнее возмущение. Если ввести обозначение dⁱ/dtⁱ = pⁱ так, что dⁱZ(t)/dtⁱ = pⁱZ(t), то это уравнение можно переписать в виде L(p)Z(t) = S(p)F(t), где L(p) и S(p) — некоторые многочлены степеней n и m соответственно. Полученный таким образом многочлен L(p) = pⁿ + a₁p^n‑1 + … + a_n-1p + a_n называется характеристическим многочленом (полиномом), а уравнение L(p) = 0 — характеристическим уравнением (существуют и другие способы получения Х. у. — см., например, ст. Передаточная функция). Корни Х. у. определяют вид решения линейного однородного дифференциального уравнения и тем самым тип собственного движения системы (периодические, затухающее и т. п.). Х. у. линейной системы не зависит от того, относительно какой из её переменных (например, скорость полёта или угол атаки при исследовании продольного движения) составляется дифференциальное уравнение и какие возмущающие и задающие воздействия в эту систему вводятся.

Необходимым и достаточным условием устойчивости решения системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений является отрицательность всех действительных частей корней Х. у. При этом оказывается, что положительность всех коэффициентов характеристического полинома является необходимым и достаточным условием устойчивости для систем первого и второго порядков и лишь необходимым условием устойчивости (обеспечивается отрицательность только вещественных корней) для систем третьего и более высоких порядков. Существуют различные способы исследования на основе Х. у. устойчивости систем, например метод построения областей устойчивости, алгебраические и частотные критерии. Х. у. широко используется при исследовании динамики полёта, устойчивости летательного аппарата и его управляемости.

Литература:
Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, М., 1954;
Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 4 изд., М., 1974.

Ю. Б. Дубов.