турбулентный пограничный слой

турбуле́нтный пограни́чный слой — пограничный слой, внутри которого реализуется турбулентное течение. В большинстве практических приложений при полётах летательных аппаратов на высоту до 40 км Рейнольдса числа достаточно велики, и у поверхности летательного аппарата, как правило, образуется Т. п. с. В Т. п. с. касательное напряжение τ определяется суммой вязкого τ_в и турбулентного τ_т напряжений:

τ = τ_в + τ_т = μ∂u/∂y – ρ < u'υ' >,

где ‑ρ < u'υ' > — так называемое рейнольдсово напряжение сдвига. Здесь и ниже х, у — координаты, а u и υ — скорости соответственно вдоль обтекаемой поверхности и перпендикулярно к ней, μ — динамическая вязкость, ρ — плотность жидкости (газа); величины со штрихом — пульсации (отклонения от среднего значения, например u' = u— < u >; знак < … > означает усреднение по времени). В отсутствие продольного градиента давления в соответствии с относительной ролью τ₀ и τ_т Т. п. с. подразделяется на две области — внутреннюю (0≤y≤0,2δ) и внешнюю (0,2δ≤y≤δ), δ — толщина слоя. Каждая из этих областей характеризуется своими закономерностями, вид которых может быть установлен из соображений размерностей и подобия.

Профиль скорости (зависимость скорости от расстояния до обтекаемой поверхности) во внутренней области описывается найденным Л. Прандтлем (1932) «законом стенки» — зависимостью безразмерной скорости u ⁺ от безразмерного расстояния от обтекаемой поверхности y ^+:u ⁺ = f(y ⁺⁾, где u ⁺ = u/u_τ, y ⁺ = yu_τ/ν, u_τ = (τ_w/ρ)^1/2 — динамическая скорость, ν — кинематическая вязкость, τ_w — напряжение трения на поверхности. Внутренняя область, в свою очередь, состоит из трёх слоев: а) вязкий слой, в котором τ_в>>  τ_т, а профиль скорости — линейный: u ⁺ = y ^+, толщина его составляет (0,001—0,01) δ или, точнее, y ⁺ _в≤3—5; б) буферный слой (5 < y ⁺ < 40), в котором τ_в и τ_т соизмеримы, и в) логарифмический слой протяжённостью 40ν/u_τ < 0,2δ, в котором τ_т>>  τ_в, а профиль скорости логарифмический: u ⁺ = x^‑1lny ⁺ + B, где x и B — эмпирические константы (x≈0,4 и B≈5).

Во внешней области Т. п. с. профиль скорости описывается «законом дефекта скорости» (Т. Карман, 1930): (u_e — u)/u_τ = g(y/δ), где u_e — скорость на внешней границе пограничного слоя, g — некоторая функция.

В области перекрытия внешней и внутренней областей течения профиль скорости логарифмический, то есть и в области применимости закона дефекта скорости имеется логарифмический участок. Закон стенки мало чувствителен к возмущениям, исходящим из внешней части слоя, и видоизменяется в зависимости от условий взаимодействия Т. п. с. с обтекаемой поверхностью (её шероховатость, вдув в пограничный слой и др.). Закон дефекта скорости, наоборот, мало чувствителен к изменениям условий на обтекаемой поверхности, но подвержен влиянию изменений условий во внешнем потоке (продольный градиент давления, турбулентность внешнего потока и др.).

Для описания профилей скорости в Т. п. с. при наличии продольного градиента давления широкое применение получила формула Д. Коулса (1956): u/u_τ = χ^‑1ln(yu_τ/ν) + BП(x)w(y/δ), где П(x) — параметр, зависящий от продольного градиента давления; w(y/δ = 1 — cos(πy/δ) — эмпирическая «функция следа».

Закономерности Т. п. с. обусловлены сложными нестационарными явлениями внутри слоя. Течение в пристеночных областях характеризуется «выбросами» вытянутых вдоль потока объёмов заторможенной жидкости во внешней часть слоя, периодическим изменением толщины вязкого слоя, его «обновлением». Из внешней части слоя в виде интенсивных «вторжений» поступает жидкость с большими продольными скоростями. Именно выбросы и вторжения обусловливают главную часть генерации рейнольдсовых напряжений сдвига.

Образующиеся во внешней части Т. п. с. большие вихри вызывают нестационарную деформацию его внешней границы, причём турбулентные и невязкие области течения вблизи этой границы достаточно резко разграничены. Поверхность раздела имеет в высшей степени нерегулярный характер. Периодическое вторжение нетурбулентной жидкости из внешнего потока в Т. п. с. обусловливает перемежающийся характер течения. Количественной его характеристикой служит коэффициент перемежаемости — относительное время существования чисто турбулентного режима течения. Этот коэффициент в пристеночной части Т. п. с. (y/δ < 0,4) равен единице, а при y/δ > 0,5 уменьшается от единицы до нуля вблизи внешней границы слоя.

Нестационарность течения в Т. п. с. обусловливает генерацию пульсаций пристеночного давления ρ'_w и касательного напряжения τ'_w на обтекаемом теле. Согласно измерениям при отсутствии продольного градиента давления среднеквадратичное значение пульсаций давления выражается в долях скоростного напора ρ_eu_e²/2׃(< p′_w² >)^1/2 = ηρ_eu_e^1/2(η = 0,006 при M_e < 4) или местного коэффициент поверхностного трения —

(< p'_w² >)^1/2 = ατ_w(α≈2—5 при M_e = 0,2—5).

Пульсации поверхностного трения τ'_w примерно на порядок меньше пульсаций p'_w. Здесь ρ_e и М_e — плотность газа и Маха число на внешней границе слоя.

Уравнения Т. п. с. незамкнуты, то есть число неизвестных превышает число уравнений. Так, например, в случае плоского стационарного течения однородного газа три уравнения (неразрывности, количества движения и энергии) содержат четыре неизвестные величины: две составляющие скорости u и υ, рейнольдсово напряжение сдвига и удельный поток теплоты — < υ'h' >. Однако, если ввести формулы градиентного типа — < u'υ' > = ν_т∂u/∂y, — < υ'h' > = λ_т∂h/∂y, то вместо — < u'υ' > и — < υ'h' в уравнения войдут ν_т и λ_т, которые связаны соотношением Pr_т = ρν_тc_р/λ_т. Здесь h — энтальпия, ν_т — кинематическая турбулентная вязкость, λ_т — турбулентная теплопроводность газа, c_p — теплоёмкость газа при постоянном давлении, Pr_т — турбулентное Прандтля число.

В качестве замыкающих соотношений в различных полуэмпирических теориях используются разнообразные способы определения < u'υ' > и < υ'h' > через параметры осреднённого течения — либо алгебраические выражения, как в простейшей модели турбулентности Прандтля — Кармана, либо дифференциальные уравнения, как в модели турбулентности А. Н. Колмогорова — Прандтля. Использование различных замыкающих соотношений позволило разработать ряд численных и интегральных методов расчёта Т. п. с., нашедших широкое применение в инженерной практике. В ряде простейших случаев нашли применение эмпирические методы расчёта Т. п. с.

Теория Т. п. с. в значительной мере опирается на опытные данные, содержит эмпирические константы или функции, которые, как правило, не универсальны и по мере возникновения новых задач нуждаются в экспериментальном подтверждении.

Литература:
Петровский В. С., Гидродинамические проблемы турбулентного шума. Л., 1966;
Кутателадзе С. С., Леонтьев А. И., Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое, М., 1972;
Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, М., 1974;
Лапин Ю. В., Турбулентный пограничный слой в сверхзвуковых потоках газа, М., 1982;
См. также лит. при ст. Пограничный слой.

А. С. Гиневский, Е. Е. Солодкин.