газовая динамика

га́зовая дина́мика — раздел аэродинамики, в котором изучаются закономерности движения газов, а также механическое и тепловое взаимодействие между газом и движущимися в нём телами. Зарождение и развитие Г. д. происходило под непосредственным воздействием запросов практики в связи созданием самолётов, движущихся с большими дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями, воздушно-реактивных двигателей и ракетной техники. Специфика используемых методов экспериментальных исследований и математических уравнений Г. д. и методов их решения, а также широкий круг прикладных задач привели к выделению Г. д. в самостоятельную область механики и прикладной математики. При этом в Г. д. выделяются 2 класса задач: так называемые задачи внешней аэродинамики, когда движение газа происходит в неограниченном пространстве, и так называемые задачи внутренней аэродинамики, когда движение газа происходит в ограниченном пространстве. Движение газа описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, выражающих собой сохранения законы (массы, импульса и энергии); замыкается система уравнением состояния, которое связывает между собой плотность ρ, давление p и температуру T, и зависимостями теплофизических свойств среды от температуры и давления. Во многих задачах Г. д. газ находится вдали от точки конденсации (очень низкие температуры) и от областей диссоциации и ионизации (очень высокие температуры). В этих задачах обычно используется модель совершенного газа, который подчиняется уравнению состояния Клапейрона p = ρRT, где R — газовая постоянная, и имеет постоянные удельные теплоёмкости. Система уравнений Г. д. в общем виде очень сложна даже для численного анализа, поэтому важное значение в Г. д. имеет эксперимент, для чего создаются аэродинамические трубы и специальные стенды. Условия динамического и теплового подобия при испытаниях моделей, геометрически подобных натурным объектам, обеспечиваются соблюдением равенства значений в условиях эксплуатации объекта и при моделировании соответствующих подобия критериев: Рейнольдса числа Re, Маха числа M и т. п.

Л. Прандтль ещё в 1904 показал, что в типичных гидро- и газодинамических задачах, для которых число Рейнольдса велико (Re>>  l), области влияния вязкости и теплопроводности ограничены тонкими пограничными слоями, толщиной примерно на два порядка меньшей характерных размеров обтекаемого тела, а вне этих слоев протекает основная масса газа, где влиянием вязкости и теплопроводности можно пренебречь. Иными словами, задача об обтекании тела потоком вязкой среды разбивается на две самостоятельные задачи: расчёт поля течения идеального газа (рассматриваемого как сжимаемая жидкость) на основе Эйлера уравнений и расчёт течения вязкого газа в пограничном слое на основе уравнений Прандтля.

Для установившегося потока идеального сжимаемого баротропного газа в отсутствие массовых сил дифференциальные уравнения Эйлера приводят к Бернулли уравнению

,

которое выполняется вдоль линии тока. Здесь V — модуль вектора скорости, V_m — максимальная скорость в газе. Если течение является потенциальным, то есть, V = gradφ, где φ — потенциал скорости, то постоянная Бернулли принимает одно и то же значение для всего поля течения. Кроме того, из уравнения энергии следует интеграл вдоль линии тока

h + V²/2 = H,

где h — энтальпия, H — энтальпия торможения (см. Торможения параметры). Для безвихревого течения решение конкретной задачи Г. д. при заданных граничных условиях сводится к отысканию φ, поведение которого в случае плоского установившегося движения описывается уравнением

,

где а = dp/dρ — скорость звука, u, v — компоненты вектора скорости, параллельные осям декартовой системы координат x, y. Получить решение этого уравнения в общем виде практически невозможно, однако в некоторых случаях оно сводится к уравнениям, методы решения которых достаточно хорошо разработаны. Так, при малых дозвуковых скоростях (u  a, v  a) это уравнение переходит в уравнение Лапласа (Δφ = 0), описывающее течение несжимаемой жидкости. При дозвуковых скоростях (u < a, v < a) выражения в скобках имеют положительный знак и уравнение эллиптического типа. При сверхзвуковых скоростях (u > a или v > a) выражения в скобках отрицательны и уравнение гиперболического типа. Особенно сложными для математического исследования являются смешанные течения, в которых имеются дозвуковые и сверхзвуковые области (см. Трансзвуковое течение).

Сложность решения приведённого выше уравнения для потенциала скорости заключается в его нелинейности. Однако в 1904 С. А. Чаплыгин предложил метод решения в плоскости годографа (см. Годографа метод). При этом уравнение становится линейным, и для его решения можно воспользоваться хорошо развитой теорией аналитических функций. Чаплыгин получил приближенное аналитическое решение задачи о струйном дозвуковом обтекании тела, которое лишь во 2-й половине 30-х гг. было модифицировано применительно к безотрывному обтеканию авиационного крылового профиля С. А. Христиановичем и Л. И. Седовым.

Характерной особенностью сверхзвуковых течений является существование стационарных волн давления. Если соседствуют две области с разным давлением (p₂ > p₁), то в область повышенного давления распространяются волны разрежения, а в область пониженного — волны сжатия. В адиабатической среде волны разрежения со временем растягиваются, оставаясь плавными, а крутизна волн сжатия быстро нарастает, так что их стационарной формой является ударная волна (скачок уплотнения). Скорость распространения ударных волн тем выше, чем больше перепад давлений. В прямом скачке уплотнения направление потока не изменяется; в плоском косом скачке поток отклоняется. Если угол отклонения потока превышает некоторый предельный θ_max(M), то плоский косой скачок невозможен (фронт волны становится криволинейным). Изменение газодинамических переменных в ударной волне описывается Гюгоньо адиабатой. Теория ударных волн — важный раздел Г. д.

Типичным примером течения с образованием волн разрежения может служить обтекание выпуклого угла сверхзвуковым потоком газа — Прандтля—Майера течение. Это течение описывается простыми аналитическими формулами, которые широко применяются на практике для расчёта сверхзвукового обтекания крыла, криволинейной стенки, косого среза сопла Лаваля и т. п.

Теория ударных волн используется при проектировании воздухозаборников. Так, например, в плоском воздухозаборнике с центральным телом, имеющем так называемую полигональную поверхность, сверхзвуковой поток тормозится в системе последовательно расположенных косых скачков уплотнения, замыкаемой несильным прямым скачком; суммарное значение коэффициента восстановления полного давления v = v₁·v₂·…·v_n достигает максимума (минимум потерь) при условии, что все косые скачки уплотнения имеют равную интенсивность (v₁ = v₂ = … = v_n-1), а интенсивность замыкающего прямого скачка почти не отличается от интенсивности косого (v_n ≈ v₁). Увеличение числа n косых скачков приводит к возрастанию v. Устремляя число косых скачков к бесконечности, то есть заменяя полигональную поверхность центрального тела криволинейной, можно увеличить v; при этом на части криволинейного участка торможение потока будет изоэнтропическим, а потери полного давления будут определяться интенсивностью замыкающего скачка уплотнения.

При расчёте сложных сверхзвуковых течений используется тот факт, что характеристиками гиперболических уравнений движения являются волны Маха (см. Маха конус). Используя сетку волн Маха в сочетании с ударными волнами, удалось создать графические и числовые методы расчёта сложных сверхзвуковых течений (в соплах, струях, при обтекании тел). Разработаны аналитические методы, основанные на линеаризации потенциала скорости или возмущений скорости (для тонких тел на малых углах атаки).

Если поле течения невязкого газа найдено, то появляется возможность проинтегрировать уравнения пограничного слоя и рассчитать распределения напряжений трения и теплового потока на обтекаемой поверхности тела, что, в свою очередь, позволяет определить сопротивление трения и температурный режим поверхности тела. Как известно, при больших положительных градиентах давления происходит отрыв пограничного слоя. Например, если поток проходит сквозь ударную волну, падающую на тело, то может возникнуть отрыв пограничного слоя, приводящий к возникновению дополнительных ударных волн, то есть имеет место «сильное» взаимодействие пограничного слоя и внешнего невязкого потока, что является предметом специального изучения в прикладной Г. д.

Для анализа многих стационарных задач внутренней аэродинамики успешно используются одномерные уравнения сохранения массы, импульса и энергии, записанные в интегральной форме для элементарной трубки тока, в каждом поперечном сечении которой газодинамические переменные потока принимаются постоянными. Если рассмотреть некоторый участок элементарной струйки между двумя нормальными к поверхности тока сечениями 1 и 2, то эти уравнения примут вид:
G = ρVF = const,
P_α = G(V_α2-V_α1), α = х, у, z,
,

Где F — площадь поперечного сечения трубки тока, x, y, z — декартовы оси координат, P — равнодействующая всех сил, приложенных к замкнутому контуру, G — массовый расход, L — механическая работа (насоса, компрессора, турбины и т. д.), L_тр — работа сил трения на рассматриваемом участке. Входящий в уравнение энергии интеграл представляет собой работу, затраченную на проталкивание газа, а его значение зависит от характера термодинамического процесса при движении газа. Приведённое уравнение энергии записано в механической форме и часто называется обобщённым уравнением Бернулли; его можно также записать в «тепловой» форме:

Q – L = H₂ – H₁,

где Q — подведенное к единице массы газа количество теплоты. При анализе работы газовых машин (турбин и т. п.) наряду с указанными уравнениями используется также уравнение сохранения момента количества движения относительно оси вращения:

N = G(V_u2r₂ – V_u1r₁),

где N — сумма моментов всех сил, приложенных к замкнутому контуру, V_u — окружная составляющая вектора скорости, r — расстояние от оси вращения. Эта система уравнений позволяет понять особенности течения газа и провести газодинамический расчёт газопроводов, эжекторов, элементов реактивного двигателя, лопаточных машин и других устройств. Следует отметить, что аналогичный подход к решению прикладных задач лежит в основе обычной гидравлики, поэтому Г. д. элементарной струйки иногда называют «газовой гидравликой».

Одна из важнейших проблем прикладной внутренней аэродинамики — получение сверхзвукового потока в технических устройствах различного рода: аэродинамических трубах, соплах реактивных двигателей и т. п. Для анализа особенностей течения газа, в частности изменения скорости потока при наличии воздействий разного рода, удобно использовать следующие дифференциальное соотношение:

  .

Здесь M — местное число Маха, γ — показатель адиабаты. «Замораживая» все воздействия, кроме анализируемого, можно установить его влияние на скорость течения; при этом каждое воздействие меняет знак на обратный при переходе скорости потока через значение M = 1. В качестве примера рассмотрим влияние сил трения на развитие адиабатического течения в трубе постоянного сечения с непроницаемыми стенками (G = const, F = const, L_тр≠const, L = Q = 0). Поскольку работа сил трения всегда положительна (dL_тр > 0), то под действием сил трения дозвуковой поток ускоряется (dV > 0), а сверхзвуковой замедляется (dV < 0); непрерывный переход через скорость звука невозможен. Если в начальном сечении трубы диаметром D скорость потока дозвуковая (M₁ < l), то в зависимости от приведённой длины трубы  = l / D (l — длина трубы) возможны три случая:
а) при  < _кр (_кр — длина, на которой скорость потока становится равной скорости звука) в выходном сечении трубы поток дозвуковой (M₂ < 1);
б) при  = _кр, в выходном сечении достигается критическая скорость (M₂ = 1) и реализуется течение с максимальным расходом;
в) при  > _кр течение газа с заданным начальным значением M₁ реализоваться не может.

Для сверхзвукового потока (M₁ > 1) возможны следующие режимы:
а) при  < _кр в выходном сечении трубы имеет место сверхзвуковая скорость (M₂ > l);
б) при  = _кр в выходном сечении скорость потока равна критической (M₂ = 1);
в) при  > _кр плавное торможение сверхзвукового потока на всём протяжении трубы невозможно и в некотором сечении возникает прямой скачок уплотнения, за которым устанавливается ускоренное дозвуковое течение; местоположение скачка уплотнения определяется из условия, что в выходном сечении скорость потока равна критической. Аналогичная картина имеет место при однозначном воздействии других величин, например, влияние неадиабатичности течения (dQ≠0, dF = dG = dL = dL_тр = 0). Дозвуковой поток в трубе за счет подвода теплоты можно разогнать до критической скорости, но нельзя перевести в область сверхзвукового течения. При этом подвод теплоты приводит к уменьшению полного давления в выходном сечении трубы, то есть к появлению так называемого теплового сопротивления (при М≤1 p₀₂/p₀₁≥0,79 для газа с показателем адиабаты γ = 1,4; при M→∞ p₀₂/p₀₁→0; индекс «0» относится к параметрам заторможенного газа).

Таким образом при однозначном воздействии на поток газа в трубе нельзя непрерывным образом перевести его из дозвукового в сверхзвуковой, но этого можно достичь изменением знака воздействия при достижений критической скорости. Принципиально возможны четыре схемы сверхзвукового сопла.

Геометрическое сопло: Лаваля сопло, в дозвуковой части которого ускорение потока осуществляется путём сужения канала (dF < 0); за критическим сечением (M = 1) площадь канала увеличивается (dF > 0) с целью получения сверхзвукового потока и его дальнейшего ускорения. Этот принцип построения сверхзвукового сопла наиболее часто используется в практических приложениях.

Расходное сопло: dG≠0, dF = dL = dL_тр = dQ = 0; ускорение потока (dV > 0) происходит здесь за счёт подвода дополнительной массы газа в дозвуковой части канала и отсоса газа в сверхзвуковые его части. В критическом сечении расход газа и плотность тока имеют максимум.

Механическое сопло: dL≠0, dF = dG = dL_тр = dQ = 0; оно должно состоять из последовательно включённых турбины, где дозвуковой поток газа ускоряется до критической скорости, и компрессора, в котором происходит ускорение сверхзвукового потока. В механическом сопле в его критическом сечении параметры торможения имеют минимум.

Тепловое сопло (пока ещё не осуществлено): dQ≠, dF = dG = dL_тр = dL = 0; в дозвуковой части сопла разгон потока вызывается подводом теплоты (dQ > 0), а в сверхзвуковой части сопла — её отводом (dQ < 0). Помимо четырёх описанных схем сверхзвукового сопла принципиально возможны комбинированные схемы, например, полутепловое сопло, в котором дозвуковой участок является тепловым, а сверхзвуковой — геометрическим. Особенности течения газа в соплах различных типов и их характеристики могут быть проанализированы с помощью приведённых выше уравнений.

На основе одномерных уравнений Г. д. проводится также газодинамический расчёт отдельных элементов воздушно-реактивного двигателя. Так, например, для адиабатического (Q = 0) течения идеального совершенного газа (L_тр = 0) из уравнения энергии следует формула для расчёта работы, совершаемой 1 кг газа в <<лопаточных машинах:

,

где индексы «1» и «2» относятся к сечениям перед и за машиной соответственно. При равных перепадах давления работа пропорциональна <<температуре торможения T₀₁ перед машиной. Если холодный газ сжать в компрессоре, а перед его расширением в турбине осуществить подвод теплоты путём сжигания топлива, то турбина разовьёт большую работу, чем затратил компрессор, и избыток работы можно передать на воздушный винт, тянущий самолёт (ТВД), или электрогенератор. Если турбина вращает только компрессор, то оставшийся за турбиной избыток давления можно использовать для получения скорости истечения струи газа, превышающей скорость полета, что, согласно уравнению импульсов, создаёт реактивную силу (ТРД).

В большинстве задач внутренней аэродинамики течение газа носит достаточно сложный пространственный характер (наличие отрыва потока, взаимодействие пограничного слоя со скачками уплотнения и т. п.), и, естественно, уравнения одномерной Г. д. не могут дать полного ответа на вопрос о структуре и локальных особенностях течения газа в различных технических устройствах и их отдельных элементах. Более детальный анализ картины течения может быть проведён путём численного интегрирования дифференциальных уравнений Г. д., а также путём экспериментальных исследований.

Литература:
Черный Г. Г., Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью, М., 1959;
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе И. В., Теоретическая гидромеханика, 4 изд., ч. 1—2, Л.—М., 1948—1963;
Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, 3 изд., М., 1980;
Абрамович Г. Н., Прикладная газовая динамика, 5 изд., ч. 1—2, М., 1991.

Г. Н. Абрамович.