волновое уравнение

волново́е уравне́ние — линейное в частных производных второго порядка уравнение с постоянными коэффициентами, описывающее распространение в среде возмущений с постоянной скоростью. При выводе В. у. из уравнений газовой динамики пренебрегают вязкостью и объёмными силами, значения и градиенты средних и пульсационных скоростей считаются малыми, а средний значения давления и плотности принимаются не зависящими от времени t. Тогда условия малости возмущений и отсутствия теплообмена позволяют считать движение безвихревым и ввести потенциал скорости φ, и В. у. принимает вид:
∂²φ/∂t²-a²Δφ = 0,
где Δ — оператор Лапласа (в декартовой системе координат Δ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z²), а — скорость распространения возмущения (скорость звука).

Давление p и скорость v распространения возмущений определяются через φ:
p = ρ₀∂φ/∂t,
v = ‑gradφ, где ρ₀ — плотность невозмущён ной среды. В сферической системе координат В. у. имеет вид:
 ,
В цилиндрической —
.

В случае если распространение волны происходит в однородном воздушном потоке, движущемся со скоростью u₀, В. у. принимает вид конвективного В. у.

,

где

.

С учётом источников, создающих звук, В. у. переходит в неоднородное В. у.

,

где F — функция источника, характеризующая его производительность. Правая часть этого уравнения описывает источники, под действием которых происходит распространение звука.

В силу линейности В. у. решение его находится в виде суперпозиции простых гармонических волн, например, в виде плоской волны
φ = A₀exp[i(ωt±kx)]
или в виде расходящейся сферической волны
φ = ψ(t-r/a) / r),
где ψ — произвольная функция.

Для неоднородного В. у. решение существенно сложнее:

,

где V — объём, занимаемый источником. В этом случае необходимо иметь детальную информацию об источнике звука, что является весьма сложной задачей для непростых источников (таких, как турбулентные струи, вентилятор, винт). Например, для решения задачи о шуме струи необходимо знать её турбулентные характеристики: пульсации скорости, пространственно-временные масштабы турбулентности и т. п.

А. Г. Мунин.