гидродинамика

гидродина́мика — раздел механики сплошных сред, в котором изучаются закономерности движения жидкости и её взаимодействие с погружёнными в неё телами. Поскольку, однако, при относительно небольших скоростях движения воздух можно считать несжимаемой жидкостью, законы и методы Г. широко используются для аэродинамических расчётов летательных аппаратов при малых дозвуковых скоростях полёта. Большинство капельных жидкостей, например, вода, обладают слабой сжимаемостью, и во многих важных случаях их плотность ρ можно считать постоянной. Однако сжимаемостью среды нельзя пренебрегать в задачах взрыва, удара и других случаях, когда возникают большие ускорения частиц жидкости и от источника возмущений распространяются упругие волны.

Фундаментальные уравнения Г. выражают собой законы сохранения массы (импульса и энергии). Если предположить, что движущаяся среда является ньютоновской жидкостью и для анализа её движения применить метод Эйлера, то течение жидкости будет описываться неразрывности уравнением, Навье—Стокса уравнениями и энергии уравнением. Для идеальной несжимаемой жидкости уравнения Навье—Стокса переходят в Эйлера уравнения, а уравнение энергии выпадает из рассмотрения, поскольку динамика течения несжимаемой жидкости не зависит от тепловых процессов. В этом случае движение жидкости описывается уравнением неразрывности и уравнениями Эйлера, которые удобно записать в форме Громеки—Ламба [по имени русского учёного И. С. Громеки и английского учёного Г. Ламба (H. Lamb)]:

где V — вектор скорости, ω = rotV — вектор завихренности, F — вектор массовой силы, р — давление гидродинамическое.

Для практических приложений важны интегралы уравнений Эйлера, которые имеют место в двух случаях:

а) установившееся движение при наличии потенциала массовых сил (F = ‑gradΠ); тогда вдоль линии тока будет выполняться Бернулли уравнение

,

правая часть которого постоянна вдоль каждой линии тока, но, вообще говоря, меняется при переходе от одной линии тока к другой. Если жидкость вытекает из пространства, где она покоится, то постоянная Бернулли H одинакова для всех линий тока;

б) безвихревое течение: (ω = rotV = 0. В этом случае V = gradφ, где φ — потенциал скорости, и массовые силы обладают потенциалом. Тогда для всего поля течения справедлив интеграл (уравнение) Коши—Лагранжа
дφ/дt + V²/2 + p/ρ + П = H(t).
В обоих случаях указанные интегралы позволяют определить поле давлений при известном поле скоростей.

Интегрирование уравнения Коши—Лагранжа в интервале времени Δt→0 в случае ударного возбуждения течения приводит к соотношению, связывающему приращение потенциала скорости с импульсом давления p_i. Для произвольной точки пространства имеем

.

Всякое движение первоначально покоящейся жидкости, вызванное силами веса или нормальными давлениями, приложенными к её границам, потенциально. Для реальных жидкостей, обладающих вязкостью, условие ω = 0 выполняется лишь приближённо: вблизи обтекаемых твёрдых границ существенно сказывается вязкость и образуется пограничный слой, где ω≠0. Несмотря на это, теория потенциальных течений позволяет решать ряд важных прикладных задач.

Поле потенциального течения описывается потенциалом скорости φ, который удовлетворяет уравнению Лапласа

divV = Δφ = 0.

Доказано, что при заданных граничных условиях на поверхностях, ограничивающих область движения жидкости, его решение единственно. В силу линейности уравнения Лапласа справедлив принцип суперпозиции решений и, следовательно, для сложных течений решение можно представить как сумму более простых течений (см., например, статью Источников и стоков метод). Так, при продольном обтекании однородным потоком отрезка с распределёнными по нему источниками и стоками с равной нулю суммарной интенсивностью образуются замкнутые поверхности тока, которые можно рассматривать как поверхности тел вращения, например, корпуса летательного аппарата.

Если в неограниченной области задана некоторая замкнутая поверхность S и n есть единичный вектор нормали к этой поверхности, направленный внутрь жидкости, то импульс силы В, сообщённый жидкости движением этой поверхности, и кинетическая энергия жидкости T будут определяться формулами

, .

Для твёрдых движущихся тел величины B и T можно выразить через присоединённые массы и скорости тел. В частности, при движении тела без вращения вдоль оси x со скоростью V_x, имеем B_x = λ_xV_x и T = λ_xV²_x/2, где λ_x, — присоединённая масса в направлении оси x, пропорциональная плотности жидкости и зависящая только от размеров и формы тела. Сила R, действующая на жидкость со стороны тела, есть R = dB/dt или V_xR = dT/dt. Поэтому при поступательном равномерном движении твёрдого тела в идеальной жидкости B = const и, следовательно, R = 0 (Д’Аламбера—Эйлера парадокс). При движении тела в реальной жидкости всегда возникают гидродинамические силы из-за его взаимодействия с жидкостью. Одна часть суммарной силы обусловлена присоединёнными массами и пропорциональна скорости изменения связанного с телом импульса примерно так же, как в идеальной жидкости. Другая часть суммарной силы связана с образованием следа аэродинамического за телом, который формируется в течение всей истории движения. След влияет на поле течения вблизи тела, поэтому численное значение присоединённой массы может не совпадать с его значением для аналогичного движения в идеальной жидкости. След за телом может быть ламинарным или турбулентным, может образовываться свободными границами, например, за глиссером.

Аналитические решения нелинейных задач, связанных с пространственным движением тел в жидкости при наличии следа, удаётся получить лишь в некоторых частных случаях.

Плоскопараллельные течения исследуются методами теории функций комплексного переменного; эффективно решение некоторых задач гидродинамики методами вычислительной математики. Приближенные теории получаются путём рациональной схематизации картины течения, применения теорем сохранения, использования свойств свободных поверхностей и вихревых течений, а также некоторых частных решений. Они разъясняют суть дела и удобны для предварительных расчётов. Например, при быстром погружении в воду клина с углом полураствора β_к возникает существенное движение свободных границ в области брызговых струй. Для оценки сил важно оценить эффективную смоченную ширину клина, которая значительно превышает соответствующую величину при статическом погружении острия на ту же глубину h. Приближенная теория для симметричной задачи показывает, что отношение динамической смоченной ширины 2a к статической близко к π/2 и приводит к следующим результатам:
a = 0,5πhctgβ,
где β = π/2 – β_к, удельная присоединённая масса
m* = 0,5πρa²f(β) [f(β) ≈ 1 – (8 + π)tgβ/π² для β < 30°],
B = m*dh/dt — вертикальный компонент удельного импульса, F = d(m*dh/dt)/dt — сила давления клина на жидкость.

При установившемся глиссировании килеватой пластинки со скоростью V_∞ течение в поперечной плоскости непосредственно за транцем весьма близко к течению, возбуждённому погружающимся клином. Поэтому приращение вертикального компонента импульса сообщаемого жидкости в единицу времени, близко к BV_∞ = m*V_∞dh/dt. Импульс жидкости направлен вниз; реакция, действующая на тело, есть подъёмная сила Y. Для малых углов атаки α dh/dt = αV_∞, и Y = m*(h)V²_∞α.

За телом, движущимся в неограниченной жидкости с постоянной скоростью V_∞ и обладающим подъёмной силой Y, образуется вихревая пелена, которая далеко за телом сворачивается в 2 вихря с циркуляцией скорости Γ и расстоянием l между ними, которые замыкаются начальным вихрем. Вследствие взаимодействия эта пара вихрей наклонена к направлению движения на угол α, определяемый соотношением sinα = Γ/(2π/V_∞). Из теорем о вихрях следует, что импульс сил B, который нужно приложить к жидкости для возбуждения замкнутой вихревой нити с циркуляцией Γ и площадью диафрагмы S, ограниченной этой вихревой нитью, равен ρΓS и направлен перпендикулярно плоскости диафрагмы. В рассматриваемом случае Γ = const, скорость приращения диафрагмы dS/dt = lV_∞/cosα, вектор гидродинамической силы R = dB/dt и, следовательно, Y = ρ/ΓV_∞ и индуктивное сопротивление X_инд = ρ/ΓV_∞tgα_инд, причем α_инд = α.

Как в случае глиссирования, так и для любых несущих систем сопротивление определяется кинетической энергией жидкости, приходящейся на единицу длины оставляемого телом следа. Общий вывод состоит в том, что при сходе с тела свободных границ всю совокупность действующих сил можно приближённо разделить на 2 части, одна из которых определяется производными по времени от «связанных» импульсов, а вторая потоками «стекающих» импульсов.

При больших скоростях движения в потенциальном потоке могут возникать очень малые положительные и даже отрицательные давления. Жидкости, встречающиеся в природе и применяемые в технике, в большинстве случаев не способны воспринимать растягивающие усилия отрицательного давления), и обычно давление в потоке не может принимать значения меньше некоторого p_d. В точках потока жидкости, в которых давление p = p_d, происходит нарушение сплошности течения и образуются области (каверны), заполненные парами жидкости или выделившимися газами. Это явление называется кавитацией. Возможным нижним пределом p_d является давление насыщенных паров жидкости, зависящее от температуры жидкости.

При обтекании тел максимум скорости и минимум давления имеют место на поверхности тела и наступление кавитации определяется условием
c_pmin = 2(p_∞ – p_d) / ρV²_∞ = σ,

где σ — число кавитации, c_pmin — минимальное значение коэффициента давления.

При развитой кавитации позади тела образуется каверна с резко выраженными границами, которые можно рассматривать как свободные поверхности и которые образованы частицами жидкости, сошедшими с обтекаемого контура в точках схода струй. Явления, происходящие в области смыкания струй, ограничивающих каверну, еще не вполне изучены; опыт показывает, что кавитационное течение имеет нестационарный характер, особенно сильно выраженный в области смыкания.

Если σ > 0, то давление в набегающем потоке и в бесконечности за телом больше, чем давление внутри каверны, и поэтому каверна не может простираться до бесконечности. При уменьшении σ размеры каверны возрастают и область замыкания удаляется от тела. При σ = 0 предельное кавитационное течение совпадает с обтеканием тел со срывом струй по схеме Кирхгофа (см. Струйных течений теория).

Для построения стационарного струйного течения используются различные идеализированные схемы, например, такая: свободные поверхности, сходящие с поверхности тела и направленные выпуклостью к внешнему потоку, при смыкании образуют струю, стекающую внутрь каверны (при математическом описании уходит на второй лист римановой поверхности). Решение такой задачи проводится методом, аналогичным методу Гельмгольца—Кирхгофа: В частности, для плоской пластины ширины l, установленной перпендикулярно набегающему потоку, коэффициент сопротивления c_x, вычисляется по формуле

c_x = c_x0(1 + σ),

где c_x0 = 2π/(π + 4) — коэффициент сопротивления пластины, обтекаемой по схеме Кирхгофа. Для пространственных (осесимметричных) каверн справедлив приближённый принцип независимости расширения, выражаемый уравнением

d²S/dt² ≈ ‑K(p_∞ – p_к)/ρ,

где S(t) — площадь поперечного сечения каверны в неподвижной плоскости, перпендикулярной к траектории центра кавитатора p_∞(t) — давление в рассматриваемой точке траектории, которое было бы до образования каверны; p_к — давление в каверне. Константа К пропорциональна коэффициенту сопротивления кавитатора; для тупых тел К ~ 3.

С явлением кавитации приходится встречаться во многих технических устройствах. Начальная стадия кавитации наблюдается при заполнении имеющейся в потоке области пониженного давления пузырьками газа или пара, которые, схлопываясь, вызывают эрозию, вибрации и характерный шум. Пузырьковая кавитация возникает на гребных винтах, в насосах, трубопроводах и других устройствах, где из-за повышенной скорости давление понижается и приближается к давлению парообразования. Развитая кавитация с образованием каверны с низким давлением внутри имеет место, например, за реданами гидросамолётов, если подток воздуха в зареданное пространство оказывается стеснённым. Такие каверзы приводят к автоколебаниям, так называемому барсу. Срыв каверн на подводных крыльях и на лопастях гребных винтов приводит к снижению подъёмной силы крыла и «упора» винта.

Экспериментальная Г. помимо традиционных гидроканалов (опытовых бассейнов) располагает широким ассортиментом специальных установок, предназначенных для изучения быстропротекающих нестационарных процессов. Применяются скоростная киносъёмка, визуализация течений и другие методы. Обычно на одной модели нельзя удовлетворить всем требованиям подобия (см. Подобия законы), поэтому широко применяется «частичное» и «перекрёстное» моделирование. Моделирование и сравнение с теоретическими результатами является основой современных гидродинамических исследований.

Литература:
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 4 изд., Л.—М., 1948—63;
Логвинович Г. В., Гидродинамика течений со свободными границами, Киев, 1969;
Седов Л. И., Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, 3 изд., М., 1980.

Г. В. Логвинович.