Гельмгольца—Кирхгофа теория обтекания

Схема обтекания тела в физической плоскости и отображение области потенциального течения на плоскость комплексного потенциала.

Ге́льмгольца—Ки́рхгофа тео́рия обтека́ния — подход к исследованию безвихревых течений идеальной несжимаемой жидкости при наличии поверхностей тангенциального разрыва в отсутствие массовых сил; был предложен Г. Гельмгольцем в 1868 и Г. Кирхгофом в 1869. Наиболее эффективно этот метод используется для исследования плоских течений. В задачах обтекания тел безграничным однородным потоком анализ базируется на схеме течения (рис., а), характерной особенностью которой является отход линий тока от поверхности обтекаемого контура в точках B₁ и B₂. Эти свободные линии тока есть линии тангенциального разрыва, отделяющие область потенциального течения I от застойной зоны II. Так как давление в покоящейся невесомой жидкости постоянно, то в зоне II оно равно давлению на бесконечности, а вследствие его непрерывности при переходе через свободные линии тока B₁C₂ и B₁C₂ значение скорости на каждой из них в силу Бернулли уравнения равно значению скорости V_∞ невозмущенного потока. Форма свободных линий тока подлежит определению.

Задача решается в плоскости комплексного переменного z = x + iy с началом координат в критической точке A. Если ввести комплексный потенциал w = φ + iψ такой, что потенциал скорости φ(x, y) и функция тока ψ(x, y) в точке A принимают нулевые значения, то в плоскости w области течения I соответствует вся плоскость кроме разреза вдоль положительной оси φ (рис., б). Между плоскостью w и областью течения I в плоскости z существует взаимно-однозначное соответствие, нахождение которого и решает задачу. Вместо отыскания зависимости между z и w Кирхгоф поставил задачу о так называемом конформном отображении разрезанной плоскости w на ту часть плоскости переменной ξ = dz / dw = 1 /  = exp(iΘ) / V, которая соответствует области течения I в плоскости z (здесь  — величина; комплексно-сопряжённая скорости Vехр(iΘ), V и Θ — модуль и угол наклона к оси x вектора скорости V). Н. Е. Жуковский (1890) и английский учёный Митчелл (1890) видоизменили метод Кирхгофа путём введения переменкой ξ = ln(V_∞/ ) = ln(V_∞/V) + iΘ. В обоих случаях отыскание конформного отображения проводится достаточно просто при обтекании контуров, состоящих из прямолинейных отрезков. Для анализа обтекания тела с криволинейным контуром метод был модифицирован в 1907 итальянским учёным Т. Леви-Чивита введением переменной ξ = iln = Θ + ilnV.

Типичным примером является обтекание плоской пластины шириной 2b, установленной перпендикулярно потоку; решение задачи показывает, что свободные линии тока, простираясь вниз по потоку, асимптотически приближаются к параболе
y² = 8bx/(π + 4), а коэффициент сопротивления (см. Аэродинамические коэффициенты) c_x = 2π/(π + 4) = 0,88 и значительно отличается от экспериментального значения c_x = 2,0. Это различие обусловлено значительно более низким уровнем давления на задней стороне пластины (см. Донное сопротивление) и связано с неустойчивостью тангенциальных разрывов в жидкости. Поэтому в реальных потоках отрывная зона позади тела не простирается до бесконечности и имеет размеры порядка размеров обтекаемого тела; течение в следе аэродинамическом является нестационарным. Г.—К. т. о. широко применяется в гидродинамике капельной жидкости для анализа плоских и осесимметричных задач: глиссирование, истечение струй из отверстий и насадок и т. д.

Литература:
См. при статье Гидродинамика.

В. А. Башкин.