пограничный слой

пограни́чный слой — тонкий по сравнению с характерным линейным размером тела слой жидкости или газа, прилегающий к твёрдой поверхности, в котором градиенты газодинамических переменных в нормальном к стенке направлении столь велики, что инерционные силы и силы трения имеют здесь один и тот же порядок. П. с. образуется при больших Рейнольдса числах Re = ρ_*VL/μ, где V — характерная скорость, L — характерный линейный размер, μ — характерная динамическая вязкость, ρ — характерная плотность.

Понятие П. с. для анализа движения жидкости при больших числах Рейнольдса было предложено Л. Прандтлем (1904). Согласно Прандтлю задача об обтекании тела потоком вязкой жидкости распадается на две самостоятельные задачи: задачу об обтекании тела потоком идеальной жидкости, которая описывается Эйлера уравнениями, и задачу о движении вязкой жидкости в П. с., которая описывается уравнениями П. с. (уравнениями Прандтля). При этом, чтобы получить уравнения ламинарного пограничного слоя, используют уравнения Навье—Стокса; уравнения же турбулентного пограничного слоя получают из уравнений Рейнольдса. В обоих случаях уравнения П. с. имеют одинаковую структуру и для стационарного плоскопараллельного течения принимают вид:

; ; ,

где х, у — криволинейные ортогональные координаты (координатная линия y = 0 лежит на обтекаемой поверхности), u, v — проекции вектора скорости на координатные линии х и у соответственно, р — давление,

— касательное напряжение трения, μ_τ — турбулентная динамическая вязкость. Решение этой системы уравнений удовлетворяет условиям прилипания и непротекания на обтекаемой поверхности: u = v = 0 при у = 0 и условию сращивания с внешним невязким потоком: u→u_e при y→∞, где u_e — скорость потока на внешней границе П. с. В отличие от уравнений Навье—Стокса и Рейнольдса, полученная система уравнений относится к параболическому типу; при её интегрировании величины u_e(x) и р(х) — известные функции, представляющие собой распределения соответствующих величин вдоль поверхности тела при обтекании его потоком идеальной жидкости. Вследствие этого значительно упрощается математический анализ задачи.

Прандтль получил уравнения П. с. для ламинарного течения около прямолинейной стенки путём оценки обусловленных вязкостью и инерционностью членов, входящих в уравнения Навье—Стокса, и сохранением только главных членов. Он показал, что толщина П. с. δ ~ O(ε), u ~ O(1), v ~ O(ε), где ε = Re^‑0,5. В 1927 немецкий учёный Р. Мизес (R. Mises) дал более формализованный, но вместе с тем и более строгий вывод уравнений П. с. Рассматривая плоскопараллельное ламинарное течение жидкости около криволинейной поверхности, он записал уравнение неразрывности и уравнения Навье—Стокса в безразмерном виде и произвёл преобразования: y = εY, v = εv. Если в преобразованных уравнениях совершить предельный переход ε→0, то получаются уравнения П. с., то есть они являются предельной формой уравнений Навье—Стокса, получающейся в определенных условиях при Re→∞. В последующие годы была установлена более глубокая, асимптотическая природа такого подхода к решению задачи.

Уравнения плоского П. с. после некоторых преобразований могут быть приведены к интегральному соотношению Т. Кармана (1921):

(здесь τ_w — касательное напряжение трения на поверхности тела). Величины δ* и δ** имеют размерность длины, являются интегральными характеристиками П. с. и играют важную роль в теории П. с. Величина δ* называется толщиной вытеснения и представляет собой расстояние по нормали к обтекаемой поверхности, которое определяет смещение линий тока вследствие вытесняющего действия П. с. Величина δ** называется толщиной потери импульса и характеризует изменение количества движения массы жидкости, протекающей через рассматриваемое сечение П. с. вследствие действия сил трения. В последующие годы были получены интегральные соотношения высших порядков: энергетическое соотношение (Л. С. Лейбензон, 1935), уравнение моментов k-го порядка k≥1 (В. В. Голубев, 1936); при этом уравнение моментов 1-го порядка совпадает с энергетическим соотношением.

Для исследования нелинейных уравнений П. с. используются различные подходы, связанные с введением новых зависимых и независимых переменных. Несмотря на всё их многообразие, можно выделить три принципиально различных подхода.

1. Решение задачи в переменных подобия, когда в качестве искомой функции выбирается функция тока φ(x, у) и вводятся преобразования

φ(x, y) = (2ξ)^1/2f(ξη); ; η = u_ey/(2ξ)^1/2,

в результате которых уравнения П. с. сводятся к уравнению

с граничными условиями

f(ξ, 0) = f'(ξ, 0) = 0, f'(ξ, ∞) = 1.

Здесь β = 2ξ(du_e/dξ)/u_e и штрих обозначает дифференцирование по η. В точке ξ = 0 (x = 0), где начинает формироваться П. с., уравнение в частных производных вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого определяет собой начальное условие для исследуемой задачи. Переменные подобия впервые был» введены немецким учёным Г. Блазиусом (H. Blasius, 1907); эти переменные очень удобны для численного анализа и широко используются в практике инженерных расчетов.

2. Решение задачи в переменных Мизеса, когда в качестве независимых переменных выбираются функция тока φ и координата х, а в качестве искомой функции — g(х, φ) = р/ρ + u²/2. В результате этих преобразований уравнения П. с. записываются в следующем виде:

с граничными условиями

g(x, 0) = p/ρ, g(x, ∞) = p/ρ + u_e²/2.

Переменные Мизеса наиболее чётко раскрывают математическую природу уравнений П. с. как уравнений параболического типа. Вместе с тем их использование для численного анализа несет определенные трудности, поскольку на поверхности тела решение в общем случае является сингулярным (∂²g/∂φ²→∞ при φ→0).

3. Решение задачи в переменных Л. Крокко (1946), когда в качестве независимых переменных берутся x и u, а в качестве зависимой переменной — напряжение трения τ. В результате соответствующих преобразований приходим к уравнению

с граничными условиями

τ = 0 при u = u_e, при u = 0.

В переменных Крокко порядок уравнения понижается на единицу, а независимые переменные изменяются на конечном интервале. Всё это делает очень привлекательным применение этих переменных для численного анализа. Вместе с тем их использование накладывает ограничения на класс рассматриваемых течений в силу необходимого условия монотонности профиля скорости u (следствие требования взаимооднозначного соответствия физических и преобразованных плоскостей). Кроме того, на внешней границе П. с. решение теряет аналитичность: ∂τ/∂u→∞ при u→u_e. Но эти ограничения не препятствуют широкому применению переменных Крокко для исследования практических задач.

Уравнения П. с. явились мощным и эффективным инструментом исследования прикладных задач; с другой стороны, развитие теории П. с. происходило под влиянием запросов практики, в первую очередь со стороны авиации. Примерно до начала 40-х гг., когда скорости движения самолётов были относительно невелики и можно было не учитывать сжимаемость воздуха, основное внимание уделялось исследованию несжимаемого П. с. Поскольку внимание акцентировалось на аэродинамику крыла, а самолёты имели крылья большого удлинения, рассматривался преимущественно двумерный П. с. В силу слабого развития вычислительной техники применялись главным образом приближённые методы анализа (точные методы использовались для решения частных задач, когда уравнения П. с. сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению — автомодельные решения). Большая группа приближённых методов основана на использовании интегрального соотношения Кармана, когда несущественна «тонкая» структура П. с. и необходимо определить с приемлемой для практики точностью сопротивление трения. Для этого профиль скорости и аппроксимируется некоторым выражением (например, с помощью интеграла ошибок u/u_e = erf{a(x)y}, которое после удовлетворения граничным условиям содержит неизвестную функцию от х. Если аппроксимирующее выражение подставить в интегральное соотношение Кармана, то после выполнения всех операций получается обыкновенное дифференциальное уравнение для определения неизвестной функции. Это уравнение интегрируется каким-либо известным способом. Среди методов этой группы наиболее известен метод Кармана—Польхаузена, основанный на использовании П. с. конечной толщины и на аппроксимации профиля скорости полиномом четвёртой степени. Использование интегральных соотношений высших порядков позволяет аппроксимировать профиль скорости выражением, которое содержит большое число неизвестных функций. Это приводит к повышению точности расчёта с одновременным увеличением трудоёмкости вычислений.

В период 2-й мировой войны скорости полёта значительно возросли; при расчёте аэродинамических характеристик самолётов возникла необходимость учитывать сжимаемость среды, и поэтому стала интенсивно развиваться теория сжимаемого П. с. (в основном применительно к совершенному газу). Здесь большую роль сыграло преобразование А. А. Дородницына (1942), которое уравнения сжимаемого П. с. приводит к виду, очень близкому к уравнениям несжимаемого П. с. В это же время усилился интерес к осесимметричному П. с., поскольку носовые части фюзеляжей самолётов стали выполняться в виде осесимметричных тел. В теории осесимметричного П. с. важную роль сыграло преобразование Манглера (1945) — Степанова (1947), с помощью которого уравнения осесимметричного П. с. сводятся к уравнению плоского П. с., и, следовательно, эти два разных типа течения можно исследовать по одной и той же методике. В последующие годы в связи с выходом на сверхзвуковые скорости полёта и применением крыльев малого удлинения стало много внимания уделяться исследованию трёхмерного П. с.; Успехи в этом направлении во многом обусловлены появлением и быстрым развитием ЭВМ и разработкой точных методов численного анализа.

При сверхзвуковых скоростях движения самолётов и других летательных аппаратов имеет место аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности, которое также исследуется в рамках теории П. с. В связи с этим началась интенсивная разработка теории и методов анализа П. с. для сложных моделей движущейся среды: газ с постоянным молекулярным весом и переменный удельными теплоёмкостями, равновесно диссоциирующий газ и др. При этом большую роль начинают играть различные эффекты (излучение, явление поглощения энтропийного слоя в П. с. и т. д.), которые не встречались при дозвуковых скоростях движения или их значение было несущественно. Однако наличие мощных ЭВМ и эффективных методов численного анализа позволяет успешно решать всё возрастающие по трудности прикладные задачи.

В рамках уравнений П. с. можно эффективно исследовать другие типы течений, например, истечение жидкости или газа из отверстий и насадков, течение в дальнем следе за телом и др.

Литература:
Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, пер. с нем., М., 1974;
Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 6 изд., М., 1987.

В. А. Башкин.