тензор напряжений

те́нзор напряже́ний — совокупность величин, характеризующая напряжённое состояние сплошной среды в рассматриваемой точке поля течения:

||P|| = (p_αβ)

где α, β = x, y, z — декартовы координаты, p_αβ(α = β) — нормальные напряжения, p_αβ(α≠β) — касательные напряжения (см. Поверхностные силы). Т. н. симметричен, то есть p_αβ = p_βα(α≠β), и для него существуют так называемые главные оси x', y', z', в которых касательные напряжения обращаются в нуль и Т. н. содержит только диагональные члены: p₁ = p_x'x', p₂ = p_y'y', p₃ = p_z'z'. Для Т. н. сумма его диагональных членов является инвариантом линейных преобразований

p_xx + p_yy + p_zz = p₁ + p₂ + p₃,

то есть сумма нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, не зависит от ориентации площадок. Это позволяет представить Т. н. в виде

||P|| = ‑pE + ||T||,

где p — давление гидродинамическое, Е — единичный тензор, ||T|| = (τ_αβ) — тензор вязких напряжений (напряжений трения), который отличен от нуля только в движущейся жидкости.

Т. н. зависит от локальных свойств и характера движения среды и связан с тензором скоростей деформаций ||Ф||. В аэро- и гидродинамике обычно используется линейная зависимость между ||P|| и ||Ф|| с коэффициентами μ, λ, не зависящими от выбора системы координат:

||P|| = (-p + λdivV)E + μ||Ф||.

Коэффициент μ называют динамической вязкостью, а жидкости, для которых выполняется приведенное соотношение, — ньютоновскими. Для идеальной жидкости, для которой μ = λ = 0 и в которой возникают только нормальные напряжения (p_xx = p_yy = p_zz = p_n), будем иметь

p = – ||P|| = – (p_xx + p_yy + p_zz) = ‑p_n.

В. А. Башкин.