вихревое течение

вихрево́е тече́ние — течение жидкости или газа, в поле которого вихрь скорости ω = rotV отличен от нуля. В таком течении частицы жидкости (газа) помимо поступательного движения и деформации совершают вращательное движение с мгновенной угловой скоростью ω/2. При исследовании В. т. наряду с полем скорости V рассматривается векторное поле завихренности ω. Для более наглядного представления о вращении частиц жидкости вводится понятие вихревой линии (поверхности) как такой линии (поверхности), в каждой точке которой вектор сонаправлен по касательной к ней. Вихревую линию можно трактовать как криволинейную ось вращения расположенных на ней частиц жидкости. Часть жидкости, ограниченная вихревой поверхностью, проходящей через замкнутый контур, называется вихревой трубкой; её интенсивность определяется как поток вектора ω через поперечное сечение о вихревой трубки. В предельном случае (δ→0, ω→∞, a lim σω = Γ = const) приходим к понятию вихревой нити интенсивности Γ. Поле завихренности всегда является соленоидальным (divω = 0), поэтому вихревые линии (трубки) не могут начинаться или оканчиваться внутри жидкости. Важной характеристикой поля течения является циркуляция скорости по замкнутому контуру, которая, согласно теореме Дж. Стокса, равна потоку вектора ω через поверхность, опирающуюся на этот контур. Циркуляция скорости по замкнутому контуру, движущемуся вместе с жидкостью, не меняется со временем, если среда баротропна и массовые силы имеют потенциал [теорема У. Томсона (Кельвина), 1869]. В частности, отсюда следует, что если в некоторый момент времени течение является безвихревым течением (Γ = 0 по любому контуру), то оно и в последующем в этом объёме будет оставаться безвихревым. Вихревые линии (поверхности) обладают свойством сохраняемости, то есть в любой момент времени они состоят из одних и тех же частиц жидкости; интенсивность вихревой трубки постоянна по её длине и не меняется во времени (Г. Гельмгольц, 1858).

Поле завихренности по известному полю скоростей определяется путём дифференцирования (ω = rotV). Можно решить и обратную задачу: по известному полю завихренности рассчитать поле скоростей. Если жидкость на бесконечности покоится, а вектор завихренности ω равен нулю вне некоторого органического объёма τ, по границе которого нормальная составляющая ω непрерывна, то решение этой задачи имеет вид
 ,
где r — радиус-вектор, проведённый из точки (х', у', z') поля завихренности в точку (х, у, z), где вычисляется вектор скорости. В частном случае вихревой нити из этой формулы получается Био—Савара формула. В общем случае, когда завихренность непрерывно распределена по всему объёму, занятому движущейся жидкостью, для исследования В. т. используются Эйлера уравнения, из которых получаются уравнения, описывающие изменение со для фиксированной частицы жидкости. Для несжимаемой жидкости при наличии потенциала массовых сил получается уравнение (Гельмгольц, 1858): dω/dt = (ω)V, то есть скорость изменения ω определяется быстротой изменения вектора V по направлению ω и связана с деформацией вихревых линий. Отсюда следует, что в плоскопараллельном течении вектор ω, перпендикулярный плоскости течения, сохраняется постоянным для каждой частицы жидкости. В отличие от безвихревого течения функция тока ψ описывается при этом нелинейным уравнением ²ψ = ‑ω(ψ); где функция ω(ψ) находится из граничных условий. Упомянутые выше свойства сохранения справедливы и для В. т. идеального сжимаемого газа, если он баротропен (плотность зависит только от давления). Из теоремы Томсона следует, что в рассматриваемых течениях идеальной жидкости (газа) завихренность возникать не может, а только переносится вместе с жидкостью. Образование завихренности обычно связано с действием сил трения на границе обтекаемого тела, к которой жидкость прилипает. В сверхзвуковых течениях газа криволинейные скачки уплотнения также приводят к образованию завихренности.

Литература:
Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В., Теоретическая гидромеханика, 6 изд., ч. 1, М., 1963;
Лойцянский Л. Г., Механика жидкости и газа, 6 изд., М., 1987;
Truesdeil C., The kinematics of vorticity, Bloomington, 1954.

В. И. Голубкин.